Михаил Державин родился в 1936 году в семье народного артиста РСФСР, одного из ведущих актёров Театра имени Вахтангова Михаила Державина. После окончания театрального училища им. Щукина работал в Московском театре им. Ленинского комсомола, затем в Театре на Малой Бронной. С 1968 года он был актером Московского академического театра сатиры. С 1967 г. по 1980 г. выступал в роли ироничного пана Ведущего в юмористической телепередаче "Кабачок "13 стульев", которая принесла актеру всесоюзную славу. Вместе с Александром Ширвиндтом вел телепрограммы "Утренняя почта" (1985) и "Хочу знать!" (2013). 

Особой любовью зрителей были отмечены эстрадные номера, в которых Державин выступал со своим многолетним партнером и другом Александром Ширвиндтом. Державин обладал особенным, утонченным чувством юмора с неизменной долей иронии. Их дуэт с Ширвиндтом отличался особенным артистическим почерком, атмосферой аристократичного и немногословного юмора «по-английски».

Актер нечасто появлялся на киноэкране, всего он сыграл около 30 ролей, в основном комедийных эпизодов. Самыми популярными его киноработами стали роли в фильмах «Трое в лодке, не считая собаки» (1979 год, партнерами Державина в этом фильме были Александр Ширвиндт и Андрей Миронов), «Зимний вечер в Гаграх», «Бабник», «Настоящий мужчина», «Импотент», «Старые клячи».

С середины 2010-х стало известно, что Михаил Державин тяжело болен и большую часть времени вынужден проводить за городом, под Москвой. Тем не менее он продолжал появляться на публике, выходить на сцену. Не терял присутствия духа.

«Михаил Михайлович Державин будет похоронен на Новодевичьем кладбище, где покоится и его отец, в прошлом ведущий актер театра им. Вахтангова Михаил Степанович Державин», — сообщил директор Театра Сатиры Мамед Агаев.

Державин был награжден рядом правительственных наград: орденом «За заслуги перед Отечеством» III и IV степени, орденом Почета, орденом Дружбы.