Гридин получил образование в Ленинградском художественном училище и позже работал в Новосибирском театре оперы и балета, а также в Театре имени Кирова (Мариинский театр). В 1969 году он завершил обучение на факультете театральной режиссуры в Ленинградском институте культуры, сообщает газета Культура.
Его первой значимой ролью стала партия Гренгуара в балете «Эсмеральда». В репертуаре Гридина также были балеты «Жизель», «Лебединое озеро», «Спящая красавица», «Пламя Парижа», «Спартак», «Дон Кихот» и другие. Кроме того, Анатолий Гридин снялся в таких фильмах, как «Марьяна из Гранады», «Анюта», «Женитьба Бальзаминова».
Коллектив Мариинского театра выразил соболезнования родным и близким Анатолия Васильевича, его друзьям и ученикам.