Он родился 21 сентября 1935 года в деревне Власиха Боговарского района Костромской области. После школы поступил на химический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова. Во время учебы в университете занимался в литературном объединении, руководителем которого являлся известный поэт-фронтовик Николай Старшинов.
Первая поэтическая публикация Кострова состоялась в феврале 1957 года в журнале «Юность». В 60-х годах стал заведующим отделом в журнале «Техника – молодежи», работал в журнале «Смена». В 1967 году закончил Высшие литературные курсы при Литературном институте имени А.М.Горького. С 1980 по 1986 год являлся секретарем Московской писательской организации Союза писателей РСФСР. С 1986 по 1992 год трудился на посту заместителя главного редактора журнала «Новый мир».
В.А.Костров являлся профессором Литературного института имени Горького, председателем Международного Пушкинского комитета, вице-президентом международного Пушкинского фонда «Классика».
Он был лауреатом Государственной премии РСФСР имени М.Горького, Премии Правительства Российской Федерации в области культуры, Премии мэрии Москвы, «Большой литературной премии России» Союза писателей России.
Также он был большим другом «Литературной газеты» и нашим постоянным автором. Выражаем искренние соболезнования семье и близким покойного.